おっおっおっ！死にたい
くじらさんも同じようなことしてたので
日記のネタも兼ねて、私もココに書きながら考えることにする。
（紙に書くと間違って捨てそうなので）
以下、面白くないので読まなくておｋ
示したい：位相空間Ｙの２点y_0，y_1が道ｗで結ばれる時、π1(Y,y_0)とπ1(Y,y_1)は同型。
同型ってことは、何かしらの写像が準同型かつ全単射であることをいえれば良い。
ここで
fw：π1(Y,y_0) → π1(Y,y_1)
[α] → [w^-1*α*w]
と定義する。
イメージは右の図
fwがwell-defであることを言いたい。
＜案＞
[α]＝[α’]⇒[ｗ^-1*α*ｗ]＝[ｗ^-1*α’*ｗ]（[α]，[α’}∈π1(Y,y_0) ）は言える？
当然、
[α]＝[α’]（[α]と[α’]はホモトピック）
⇔∃Ｆ：Ｉ×Ｉ→Ｙ
Ｆ(0,・)＝Ｆ(1,・)＝y0
Ｆ(0,・)＝α，Ｆ(1,・)＝α’
なわけだから、同様に作ってあげればいけそう？
[ｗ^-1*α*ｗ]＝[ｗ^-1*α’*ｗ]
⇔∃Ｇ：Ｉ×Ｉ→Ｙ
ｗ^-1(3t) t∈[0,1/3]
Ｇ(t,s):＝ Ｆ(3t-1,s) t∈[1/3,2/3]
ｗ(3t-2) t∈[2/3,1]
この様に作ってやる。（α*β*γの場合、[0,1]区間の３等分が一番楽と思ったので）
このとき、
Ｇ(0,・)＝ｗ^-1(3・0)＝ｗ^-1(0)＝ｗ(1)＝y_1 注）ｗ^-1(t)＝ｗ(1-t)
Ｇ(1,・)＝ｗ(3・1-2)＝ｗ(1)＝y_1
Ｇ(・,0)＝ Ｆ(3t-1,0)＝α(3t-1) ＝ｗ^-1*α*ｗ
Ｇ(・,1)＝ Ｆ(3t-1,1)＝α’(3t-1) ＝ｗ^-1*α’*ｗ
(ｗは特に考える必要はない・・・ハズ)
従ってホモ。よってfwはwell-def！
んで、この写像fwは明らかに準同型写像(そうなるように作ってあるので)。
gw:：π1(Y,y_1) → π1(Y,y_0)
[γ] → [ｗ*γ*ｗ^-1]
これも上と同様に考えて、well-def。
π1(Y,y1)∋∀[γ] ， fw(gw([γ]))＝fw([ｗ*γ*ｗ^-1])＝[ｗ^-1*ｗ*γ*ｗ^-1*ｗ]＝[γ] ∵）ｗ*ｗ^-1＝e(単位元)
よって、fw*gw＝id_π1(Y,y_1)
同様に、gw*fw＝id_π1(Y,y_0)
よって逆写像を持つので、fwは全単射！
【fw：準同型かつ全単射】なので、π1(Y,y_0)とπ1(Y,y_1)は同型。 Quod Erat Demonstrandum
・・・果たしてこれでいいのやら。
まぁ、写像自体はちゃんとwell-defということは示してあるので大丈夫なハズ。
長時間ＰＣ画面とにらめっこしながら考えていた為か頭いてぇ・・・
